Math Ajax

суббота, 12 сентября 2015 г.

Кажется, это какая-то аналогия к чему-то

Начну in medias res. Так вот, несмотря на то, что в стандартных действительных числах [1] 0,9999... = 1, есть люди, которые с этим несогласны.

Нести им свет истины можно разными способами. Например, можно вкрадчиво спросить их, есть ли какие-то числа посередине между 0,(9) и 1? Как же выглядят эти числа?

Чуть подумав, человек отвечает, что никаких промежуточных чисел нет. Между 0,(9) и 1 есть один неделимый квант числовой прямой, один атом линии.

"Тогда получается, что разность "1 - 0,(9)" — это не ноль, но минимальное число, большее нуля? Радиус атома?" - можно спросить в ответ.

"Получается, что да" — отвечает собеседник, которому это кажется очень логичным и интуитивным — "Это число можно обозначить, как 0,0000...1".

После этого можно пойти разными путями, и недавно я узнал новый.

Числа, аналогичные 0,99999... существуют во всех системах счисления. Например, в двоичной системе счисления 0,11111... = 1: этот факт отражает, что 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... = 1.


И аналогичное рассуждение говорит, что тогда разность 1 - 0,(1) тоже есть особенное, неделимое число, которое в двоичной системе счисления выглядит, как 0,0000...1. И это тоже минимальное число, большее нуля.

Но это же другое число! И в десятичной системе счисления оно будет выглядеть, как 0,00000...5! Выходит, что теперь величина этого неделимого минимального числа изменилась в пять раз!

Числа существуют сами по себе, не зная про нас и наши произвольные решения, продиктованные удобством. Но при этом имеется волшебное действие на расстоянии: я могу менять размер атомов числовой прямой, подобрав другую систему счисления. Происходит вторжение в платоновский мир идей, и по абстрактным понятиям начинает идти рябь [2].

И это искомое противоречие: выбор основания системы счисления не должен менять глубокие свойства числовой прямой.

Выбор базиса не должен менять, какие преобразования обратимы, а какие нет. Выбор точки отсчёта не должен менять, какие точки являются локальными максимумами. Выбор словаря и системы ценностей не должен менять, какие утверждения о фактах истинны, а какие нет.

Скомкать карту — не значит скомкать местность.



--------

[1] Как со всем этим обстоят дела в нестандартных моделях? В некоторых из них можно ввести — на мой взгляд, не очень естественно или интуитивно — сначала что-то в духе десятичных дробей, а затем и 0,(9) так, чтобы это было не равно 1. Но при этом там обязательно имеется гигантская паутина бесконечно малых величин, и никаких атомов быть не может.

[2] Если верить законам вселенной The Laundry Files, то это явно тот момент, когда шогготы начинают заинтересованно смотреть в сторону нашей галактики и облизываться.

Комментариев нет:

Отправить комментарий